Antike Geometrie |
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| a2 + b2 = c2 |
Wobei a und b die Katheten (die am rechten Winkel anliegenden Seiten) und c die Hypothenuse (die dem rechten Winkel entgegengesetzte Seite) sind.
Beweis des Satzes (siehe Abbildung Links):
Die Gesamtfläche des grossen Quadrates ist (a+b)2. Diese ist gleich gross wie die Summe von c2 (Fläche des einbeschriebenen Quadrates) und 4*(ab)/2 (Summe der 4 Dreiecksflächen).
Also gilt (a+b)2 = c2
+ (4*(ab)/2) 
a2
+ 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2
= c2
Die Quadratur
des
Kreises
In der Antike beschäftigten sich zahlreiche Mathematiker mit der Frage, wie und ob mit Hilfe einer geometrischen Konstruktion, welche ausschliesslich Lineal und Zirkel verwendet, ein Quadrat in einen flächengleichen Kreis (und umgekehrt) verwandelt werden kann. Die moderne Mathematik hat nachwiesen dass diese Aufgabe auch theoretisch unlösbar ist. |
Die
Bestimmung des Erdumfanges durch Eratosthenes
Es war der griechische Mathematiker, Philosoph und Astronom Eratosthenes (276-195 v. Chr.), welcher als erster den Erdumfang bestimmt hat. Er beobachtete die Mittagshöhe der Sonne von Alexandria und vom 787,5 km weiter südlich gelegenen Kyrene (das ist das heutige Assuan). Die Differenz der Höhen der Sonne gemessen zu demselben Zeitpunkt beträgt 7,14 Grad. Damit errechnete er den Erddurchmesser wie folgt:
787.5 km x (360 o / 7.14o) = 39'705 km
Dieser Betrag kommt dem wahren Erdumfang von ca. 40'000 km sehr nahe.
die Möndchen
des
Hyppokrates
Die
Summe der Flächeninhalte der beiden Möndchen ist gleich gross wie die
Fläche des Dreiecks:
| Amo1 + Amo2 = Fabc |
Das Dreieck ist rechtswinklig. Also gilt: a*b/2=Fabc
Die Summe der Flächen der Möndchen ist gleich Halbkreis über a + Halbkreis über b + Dreiecksfläche abc - Halbkreis über c
pi/2(a/2)2
+ pi/2(b/2)2
+ (ab)/2 - pi/2(c/2)2
= Fmo12
(pi/8)a2
+ (pi/8)b2
+ (ab)/2 - (pi/8)(c/2)2
= Fmo12
(pi/8)(a2+b2)
+ (ab)/2 - (pi/8)*c2
= Fmo12
da a2+b2 =
c2(pi/8)c2
+ (a*b)/2 - (pi/8)c2
= Fmo12(ab)/2
= Fabc= Fmo12